國立中央大學物理演示實驗 NCU Physics Demonstration Lab

重力下的最快下降曲線

重力加速度下，不在鉛直線上且不同高度兩點所連成的路徑中，何者下降最快？

目的

驗證重力下的最快下降曲線(brachistochrone)。

實驗

實驗裝置：製作相同起終點的直線、擺線與其他曲線路徑的鋼珠軌道。

觀察兩球由靜止釋放，經下列路徑的時間比較：（軌道右下方紅點為終點）

  1. 擺線與直線。

    實驗演示

    ×實驗演示

  2. 擺線與比擺線陡的曲線。

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  3. 由擺線中不同點下降。

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    ×實驗演示

原理思考

  1. 擺線與直線比較，球似乎走路徑較長且較陡的擺線較快；然而擺線與比擺線更長更陡的曲線比較，球卻也是走擺線較快，為什麼？
  2. 球由擺線中不同點為起點靜止釋放，為什麼卻會花同樣時間抵達終點？

原理探究

×原理探究


以數學式推論：

dt = \frac{ds}{v}, ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1+(y')^2}dx, y' = v = \sqrt{2gy}

所花時間

t = \int_{0}^{x}\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}dx

由變分法之 Euler equation 可求得滿足最小時間

x = a(\theta-sin\theta), y = a(1-cos\theta)

，即擺線方程式。

又

ds = \sqrt{dx^2+dy^2}= a\sqrt{(1-cos\theta)^2+sin^2\theta}d\theta= a\sqrt{2-2cos\theta}d\theta

，y = a(cos\theta_0-cos\theta)

；所花時間

t = \int_{\theta_0}\frac{a\sqrt{2-2cos\theta}}{\sqrt{2ga(cos\theta_0-cos\theta)}}d\theta=\ldots=\pi\sqrt{\frac{a}{g}}

，即下降時間與起始角\theta_0無關。

討論

  1. 實驗中球的滾動、滑動、摩擦力對實驗結果有何影響？
  2. 假設通過擺線上的一點的垂直線與擺線的夾角為 \alpha，試算 sin\alpha 與通過該點切線速度v 的比值。此關係與光在介質中折射角與速度的關係有何關聯？為什麼？

關於實驗

  1. 為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。
  2. 伽利略(Galilei)曾在1638年給出一個該曲線為圓弧的誤證。後來白努利家族(Bernoulli)對此問題的探討成為變分學的濫觴。
  3. 擺的等時性(tautochrone)於1673年由惠更斯(Huygens)所提出。

參考資料

  1. 李柏堅, "變分法上的最速降線之研究"
  2. Hairer & Wanner, "Analysis by its history"

製作

v.2 曾前助理、張正忠、張惟絮

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

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