國立中央大學物理演示實驗 NCU Physics Demonstration Lab

誰比較快？——斜面滾動篇

將不同的質量、不同材質、不同形狀的物體放在等高的斜面上滾下，誰比較快到達底部？

目的

探討轉動慣量與質心速度的關係

實驗

將不同的質量、不同材質、不同形狀的物體放在等高的斜面上滾下，觀察其抵達斜面底部的順序。誰比較快？誰比較慢？有沒有規律或原則？

  1. 重量會影響物體抵達斜面底部的時間嗎？為什麼？

    實驗演示

    ×實驗演示

  2. 相同材質的圓柱，其長短會影響物體抵達斜面底部的時間嗎？為什麼？

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    ×實驗演示

  3. 相同材質的圓柱，其直徑會影響物體抵達斜面底部的時間嗎？為什麼？

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    ×實驗演示

  4. 相同材質的圓球，其半徑大小會影響物體抵達斜面底部的時間嗎？為什麼？

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    ×實驗演示

原理思考

  1. 相同的幾何形狀物體，滾下斜面所需的時間與哪些參數有關？與質量有關嗎？與半徑大小有關嗎？
  2. 那不同幾何形狀的物體彼此間誰快誰慢呢？

原理探究

×原理探究

  1. 我們分別考慮以下列幾個物體的轉動慣量（moment of inertia）：

    實心球 (solid sphere): I_1= \frac{2}{5}MR^2

    實心圓柱 (solid cylinder) : I_2 = \frac{1}{2}MR^2

    空心球(thin-walled hollow sphere) : I_3 = \frac{2}{3}MR^2

    空心圓柱(thin-walled hollow cylinder) : I_4 = MR^2

    以上這些物體的轉動慣量均正比於MR^2 (I \propto MR^2 ) , 假設比例常數為k , 則

    k_1 =\frac{2}{5} , k_2 =\frac{1}{2} , k_3 =\frac{2}{3} , k_4 = 1
    再由能量守恆（Conservation of energy）來看，物體由高處滾下時的能量變化為位能轉換成滾下的質心動能加上轉動動能，也就是

    Mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2

    = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}(kMR^2) * \left( \frac{v_{cm}}{R} \right)^2

    = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}kMv_{cm}^2

    = \left( \frac{1+k}{2} \right)Mv_{cm}^2

    ∴ v_{cm} = \sqrt{\frac{2gh}{1+k}}

    物體滾下斜面的末速，與M無關！與R無關！只與比例常數k有關。所以只要都是實心球，無論其質量多少，半徑大小，其末速皆相同，也同時抵達。只要都是空心球，也都會同時抵達。餘此類推。

  2. 滾下斜面高度相同下，

    v_{cm} \propto \sqrt{\frac{1}{1+k}}， ∴ k愈小，v_{cm}愈大，愈快抵達！
    所以到達順序為：實心球Solid sphere (k= \frac{2}{5})，實心圓柱 (k= \frac{1}{2})，空心球 (k= \frac{2}{3})，空心圓柱 (k=1)

討論

  1. 假設有一完全光滑的斜面(不考慮摩擦力)，那其下落的速度順序應為何？假使地板和斜面也沒有摩擦力，其運動將為如何?
  2. 由於實驗使用的圓柱或球，其半徑不同將導致由斜面滾下的「出發點」不同，請問此因素會影響實驗結果嗎？為什麼？

關於實驗

製作本實驗需注意斜面與物體表面的摩擦力足夠，以確定物體是純粹滾動沒有滑動。

參考資料

製作

v.1 王鵬傑

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪

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