國立中央大學物理演示實驗 NCU Physics Demonstration Lab

大型蛇擺

最受歡迎的演示實驗：「蛇擺」的放大版！

目的

將蛇擺大型化，以利於多人同時觀察、欣賞。

實驗

  1. 大型蛇擺演示

    實驗演示

    ×實驗演示

  2. 將擺錘漆成奇數球金、偶數球銀，再觀看一次會有不同的體會

    實驗演示

    ×實驗演示

  3. 改從頂部觀看，又有不同的感覺

    實驗演示

    ×實驗演示

原理思考

觀察實驗：

  1. 蛇擺，由數個不同擺長的單擺所組成。
  2. 在擺動時，看起來似乎是行進波的運動，可是一會兒後變得混亂。接下來又出現亂中有序的行為。，然後行進波樣子又跑出來，但是卻換了行進方向。
  3. 過了一段時間後會回到原出發狀態。並進行下一次的重複動作。

原理探究

×原理探究

  1. 假設蛇擺一個週期[6]為\Gamma，其亦為最長的單擺擺動N次、次長的單擺擺動N+1次、……、最短的單擺擺動N+n次所需的時間[7]。因此，各個單擺週期則可寫成
    \frac{ \Gamma }{N+n}　　　　　　(1)
    每個單擺間隔d ，最長單擺到最短單擺之間距離可得為x=nd，由熟知的單擺週期公式：
    T=2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} }　(L：單擺擺長)　　　　　　(2)
    由(1)式等於(2)式可推得L(x)=g\left \lbrack \frac{ \Gamma d}{2 \pi (Nd+x)} \right \rbrack^2 ，這就是我們所觀察到蛇擺擺錘的連線。
  2. 蛇擺在運動時為正弦函數，故可假設位移為y(x,t)=A \sin (kx+ \omega t+ \phi)[８]，其中\phi 為起始位置，可設為零，以利於計算。
    單擺因擺長不同，故\omega會隨位置而改變，可寫成\omega (x)，角頻率\omega可由(1)式和(2) 式推得為2 \pi \frac{ Nd+x }{\Gamma d}。
    若只考慮\omega 的影響，在起始情況下波數k為零，則位移
    y(x,t)=A \sin \left \lbrack {2 \pi \frac{ Nd+x }{\Gamma d}t} \right \rbrack　　　　　　(3)
    將(3)式整理可得y(x,t)=A \sin \left \lbrack{2 \pi \left ( \frac{t}{ \Gamma d} \right )x+2 \pi \frac{N}{ \Gamma}t}\right \rbrack ，這就是蛇擺隨時間變化的函數。
  3. 證明蛇擺擺動後經過數個週期(m \Gamma)仍和第一個週期是相同的：
    y(x,t+m \Gamma)
    =A \sin \left \lbrack{2 \pi \left ( \frac{t+m \Gamma}{ \Gamma d} \right )x+2 \pi \frac{N}{ \Gamma}(t+m \Gamma)}\right \rbrack
    =A \sin \left \lbrack{2 \pi \frac{ t}{ \Gamma d}x+2 \pi\frac{ N}{ \Gamma}t+2 \pi m(n+N) }\right \rbrack
    =A \sin \left \lbrack{2 \pi \left ( \frac{t}{ \Gamma d} \right )x+2 \pi \frac{N}{ \Gamma}t}\right \rbrack
    =y(x,t)
    y(x,t+m \Gamma)=y(x,t)，推得了蛇擺的週期性。

討論

  1. 蛇擺的週期和各個單擺的週期有什麼關係？
  2. 簡諧運動的「相位(phase)」在這個演示中扮演什麼角色？
  3. 若將起始振幅加大，會產生什麼結果？
  4. 若將所有的單擺擺長增加或縮短相同長度，又會如何？

關於實驗

  1. 可同本網站中的實驗D12.蛇擺及實驗D22簡易蛇擺做比較。
  2. 此蛇擺的設計成大型的目的是利於多人同時觀察欣賞。

參考資料

  1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, "Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York.
  2. R. E. Berg, "Pendulum waves: A demonstration of wave motion using pendula", Am. J. Phys. 59 (2), 1991,
  3. PENDULUM WAVES (University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)
  4. PENDULUM WAVES – COMMERCIAL VERSION(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)
  5. J. A. Flaten, K. A. "Parendo Pendulum waves: A lesson in aliasing", Am. J. Phys. 69 (7), 2001,
  6. 蛇擺開始擺動後，從開始的一直線回到一直線所需的時間。
  7. 此處假設蛇擺由n+1個單擺組合而成。
  8. A：振幅(amplitued)　k：波數(wave number, \frac{2 \pi}{\lambda})　\omega：角頻率(angular frequency, \frac{2 \pi}{T})　y(x,t)：位移(displacement)在位置為x時間為t時。

製作

v.1 張宇靖、朱慶琪

指導老師

張宇靖、朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

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