國立中央大學物理演示實驗 NCU Physics Demonstration Lab

科氏力

為什麼直線運動的球會自動轉彎？

目的

演示在旋轉(rotation)的系統中科氏力(Coriolis force)的現象。

實驗

  1. 在一靜止平台上，施放初速為v_0的鋼球，觀察其運動軌跡。
  2. 將平台分別向右、向左旋轉後，再次放初速為v_0的鋼球，重新觀察其運動軌跡。

    實驗演示

    ×實驗演示

原理思考

為什麼球會自動轉彎，是誰給鋼球的力？

原理探究

×原理探究

我們先來做個簡單的小實驗，準備一張紙跟一支筆，一手拿筆，一手旋轉放在桌面上的紙，在旋轉的同時，筆從紙上沿一固定方向畫（別盯著紙看，單純畫一直線），紙上的筆跡就是我們所看到鋼球的軌跡，但是剛剛明明就只有沿某一固定方向畫。利用這樣的方式是否較可以體會科氏力是假想力，是慣性座標下的運動，在旋轉座標下的表現。
從影片中看到鋼在施放出去後並未再受到任何外加的力（或合力為零），在未受外力影嚮的情況下鋼球應該仍保持著原運動狀態，事實上鋼球是仍保持原狀態作等速直線運動，只是我們對鋼球加了假想力（科氏力）使其轉彎。
考慮一向量 \mathbf{r} = x_1\mathbf{e_1}+x_2 \mathbf{e_2}+x_3 \mathbf{e_3}，在旋轉系統中，假設一不動的系統與旋轉系統有相同原點，則不動系統中的 \dot{\mathbf{r}} 要如何用轉動系統表示。
\Bigg (\frac{d\mathbf{r}}{dt} \Bigg )_{fixed} = \frac{d}{dt}\Bigg (\sum_i x_i \mathbf{e_i}\Bigg ) = \sum_i (\dot{x}_i \mathbf{e_i}+ x_i \dot{\mathbf{e}}_i)=\dot{\mathbf{r}}_r + \sum_i x_i \dot{\mathbf{e}}_i ，\dot{\mathbf{r}}_r = \Bigg (\frac{d\mathbf{r}}{dt} \Bigg )_{rotating}
\mathbf{e_1}隨\omega_3轉後的方向是\mathbf{e_2}，隨著
\omega_2轉後的方向是\mathbf{-e_3}（參考下圖）

故 \frac{d\mathbf{e_1}}{dt} = \omega_3 \mathbf{e_2} - \omega_2 \mathbf{e_3}，
\frac{d\mathbf{e_2}}{dt} = -\omega_3 \mathbf{e_1} + \omega_1 \mathbf{e_3}，
\frac{d\mathbf{e_3}}{dt} = \omega_2 \mathbf{e_1}-\omega_1 \mathbf{e_2}
\Rightarrow \dot{\mathbf{e}}_i = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{e_i}
\Rightarrow \left ( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right )_{fixed} = \dot{\mathbf{r}}_r+\sum_{i} \boldsymbol{\omega} \times x_i \mathbf{e_i} = \dot{\mathbf{r}}_r + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}
現在考慮在慣性座標下的旋轉系統中P點的運動情形，也就是下圖的情況。
\left ( \frac{d\mathbf{r^\prime}} {dt} \right )_{fixed} = \left ( \frac{d\mathbf{R}} {dt} \right )_{fixed} + \left ( \frac{d\mathbf{r}} {dt} \right )_{fixed} = \left ( \frac{d\mathbf{R}} {dt} \right )_{fixed} + \left ( \frac{d\mathbf{r}} {dt} \right )_{rotating} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

設
\mathbf{v_f} \equiv \dot{\mathbf{r}}_f \equiv \Bigg ( \frac{d\mathbf{r^\prime}} {dt} \Bigg )_{fixed}，
\mathbf{V} \equiv \dot{\mathbf{R}}_f \equiv \Bigg ( \frac{d\mathbf{R}} {dt} \Bigg )_{fixed}，
\mathbf{v_r} \equiv \dot{\mathbf{r}}_r \equiv \Bigg ( \frac{d\mathbf{r^\prime}} {dt} \Bigg )_{rotating}
則\mathbf{v_f} = \mathbf{V} + \mathbf{v_r} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}
若從牛頓力學出發，\mathbf{F} = m\mathbf{a_f} = m\Bigg ( \frac{d\mathbf{v_f}} {dt} \Bigg )_{fixed}
其中，\ddot{\mathbf{R}}_f \equiv \Bigg ( \frac{d\mathbf{V}} {dt} \Bigg )_{fixed}，\Bigg ( \frac{d\mathbf{v_r}} {dt} \Bigg )_{fixed} = \Bigg ( \frac{d\mathbf{v_r}} {dt} \Bigg )_{rotating} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r} = \mathbf{a_r} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r}，
{\boldsymbol{\omega} \times \left ( \frac{d\mathbf{r}} {dt} \right )_{fixed} = \boldsymbol{\omega} \times \left ( \frac{d\mathbf{r}} {dt} \right )_{rotating} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r} + \boldsymbol{\omega} \times \left(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right )}
\mathbf{F} = m\mathbf{a_f} = m\ddot{\mathbf{R}}_f + m\mathbf{a_r} + m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} + m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) + 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r}
若考慮旋轉系統中的情況，\mathbf{F}_{eff} \equiv m\mathbf{a_r} = \mathbf{F} - m \ddot{\mathbf{R}}_f - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} - m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r}
離心力：-m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right )
科氏力：-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_r}

討論

  1. 地球因自轉故為一非慣性座標系，為何在地球上做直線運動的物體未將科氏力考慮進去。
  2. 直行車子轉彎時，車內的人向外傾斜的現象是否受科氏力影響？
  3. 請舉出生活中受科氏力影響的例子。

討論探究

×討論探究

  1. 若物體運動尺度與與地球尺度相差甚大時，科氏力可忽略不計；但物體運動尺度與地球尺度接近時，則轉動造成的加速效應（非慣性）不可忽略（如發射洲際彈道飛彈）。[3]
  2. 因車在轉彎時，車內的人遵循｢慣性定律｣，所以人會往外傾以維持原來的運動方向。
  3. 颱風的旋轉方向即是一例；另裝滿水的臉盆，拉開落水口的橡皮塞後，臉盆內水流造成渦流旋轉的現象亦是。

實驗器材

  1. 實驗用鐵球可於坊間五金材料店購得。
  2. 斷電開關可於電子材料店購買。
  3. 旋轉平台用一般中式餐桌的轉台

參考資料

  1. 李怡嚴, "大學物理學（第一冊）", 十二版, 東華, 民72, 臺北, §5
  2. S. T. Thronton, J. B. Marion, "Classical Dynamics of Particles and Systems", 5th ed. Brooks/Cole-Thomson Learning, 2004, U.S.A. Ch10.
  3. 國立臺灣師範大學物理系物理教學示範實驗教室網站

製作

v.1 張宇靖、杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪、黃時霖

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